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用 8 个小问题，认识策略互动、概率与数据。
面向成人入门学习者。每篇短读包含概念、例子和一道带解析的练习，可自行阅读；这是一份入门材料，不包含视频课、教师辅导或社群服务。
每篇短读后附一道练习，可先独立思考，再展开解析。
第 1 篇 · 博弈论入门
分析互动问题，先回答三个问题：谁在作决定？每个人可以做什么？每种组合会带来什么结果？“收益”可以表示便利、时间、满意程度等，不必是金钱。把这些要素列出来，才能比较选择。
例如两位同事要在图书馆或咖啡馆碰面。如果两人重视见面本身，可以用“同一地点各得 2 分，不同地点各得 0 分”表示偏好。这只是一个简化模型：它暂时忽略了交通时间和个人对地点的偏好。
想一想：如果一位同事去图书馆只需 5 分钟、去咖啡馆却要 40 分钟，原模型还完整吗？
不完整。行动仍是两个地点，但时间成本不同，可能改变该同事的收益。应先明确他如何权衡见面与出行成本，再调整收益；不能直接假设两处收益相等。
第 2 篇 · 博弈论入门
最佳回应，是给定其他人的选择时，让自己收益最高的行动。纳什均衡要求：在其他人保持行动不变的情况下，没有人能靠单独改变行动获得更高收益。它描述相互回应的稳定性，不保证结果公平或整体最优。
沿用第 1 篇“同地 2 分、异地 0 分”的模型：如果对方选图书馆，你也选图书馆；如果对方选咖啡馆，你也选咖啡馆。因此，两人都去图书馆和两人都去咖啡馆，都是纯策略纳什均衡。模型也可以讨论随机化策略，这里先限于确定的地点选择。
做一做：两人都去图书馆时，你单独改去咖啡馆，你的收益如何变化？
你的收益从 2 分降到 0 分。对方不变时，单独改变行动不能使你获益；另一位同事也一样，所以“两人都去图书馆”满足均衡条件。
第 3 篇 · 博弈论入门
人们的选择会受到未来互动的影响。一次合作只考虑当前结果；长期合作还可能涉及口碑、再次合作的机会和违约后的后果。但“长期合作”本身不保证合作一定发生，关键在于未来是否足够重要，以及约定是否可验证。
假设供应商按约定交付，每次获得 6 个收益单位；本次违约可以多得 4 个单位，但会失去下一次收益为 6 的合作。若下一次合作确定发生且先忽略时间折扣，违约的额外收益 4 小于损失 6；若后续合作机会很小，结论可能不同。
做一做：如果后续合作发生的概率只有 50%，失去未来合作的期望损失是多少？仅比较这两项时，是否足以抵消本次额外收益 4？
期望损失为 50% × 6 = 3，小于额外收益 4。仅按这个简化的期望收益模型，它不足以抵消眼前收益。真实决策还要考虑合同、信誉和其他成本，不能把模型结论直接当作行动建议。
第 4 篇 · 博弈论入门
当一方知道的信息更多，另一方就需要根据可观察信息作判断。宣传语、履约记录、可核验的样品，都可能成为信号。但“说了什么”与“有何证据”应当分开：一句承诺是否可信，取决于它能否核验、是否有约束，以及伪装的成本。
采购时，“我们质量很好”提供的信息有限；独立检测报告若真实、适用于当前批次且可查证，通常更有助于判断。报告也不自动保证所有产品质量，仍需核对覆盖范围与时效。
想一想：一个商家展示三年前、另一型号产品的检测报告，能否直接证明当前产品合格？
不能。信号与待判断的对象不匹配。应核对报告主体、产品型号、批次、检测项目和有效性；证据存在不等于证据适用。
第 5 篇 · 数学思维入门
“在某个条件下”会限定讨论范围。假设 100 位读者中，有 20 位参加读书会，其中 8 位也参加写作小组。问“一位参加读书会的读者，也参加写作小组的比例”时，讨论的集合是这 20 位读书会成员。
P（写作小组｜读书会）= 8 ÷ 20 = 40%
而 8 ÷ 100 = 8%，回答的是“同时参加两项活动的人，占全体读者的比例”。两个结果都可能正确，但回答的是不同问题。先说清所求比例的含义，再选择分母。
做一做：如果写作小组总共有 16 位读者，写作小组成员中也参加读书会的比例是多少？
8 ÷ 16 = 50%。这里的条件换成了“参加写作小组”，所以分母改为 16。P（读书会｜写作小组）与 P（写作小组｜读书会）通常不同。
第 6 篇 · 数学思维入门
期望值用各结果的概率作权重，对结果求平均。假设一个学习活动中，方案 A 固定获得 4 个练习积分；方案 B 有 50% 的机会获得 10 分，另外 50% 得 0 分。这些积分只用于演示数学模型。
A 的期望 = 4；B 的期望 = 50% × 10 + 50% × 0 = 5
B 的期望较高，但单次只可能得到 10 或 0，不会实际得到 5。若你特别重视稳定结果，或者存在必须达到的最低分数，比较期望值还不够。即使重复很多次，实际平均值也不保证恰好等于期望。
做一做：如果 B 得到 10 分的概率降到 30%，其余仍为 0，B 的期望是多少？
30% × 10 + 70% × 0 = 3 分，小于 A 的 4 分。在仅按期望积分比较的条件下，A 更高；这不等于对所有偏好都给出同一选择。
第 7 篇 · 数学思维入门
判断一个提醒有多可靠，需要知道事件原本有多常见。假设 1,000 个零件中有 10 个瑕疵品。某项筛查标出其中 9 个，同时把 990 个正常品中的 99 个也标成可疑。这里给定的是具体计数，无需假设筛查结果相互独立。
被标出的瑕疵品比例 = 9 ÷（9 + 99）≈ 8.33%
筛查找出了 90% 的瑕疵品，但被标出的零件中，大部分仍是正常品。这两个比例的分母不同。低基准率下，即使看上去不错的识别表现，也可能产生很多误报。
做一做：如果找到的瑕疵品仍为 9 个，误报减少到 9 个，被标出零件中瑕疵品占多少？
9 ÷（9 + 9）= 50%。减少误报改变了被标出集合的构成。只知道“发现了多少瑕疵品”，还不足以知道一次提醒有多可靠。
第 8 篇 · 数学思维入门
合并两组数据时，不能总把两个平均数再取平均。若第一组 20 人，平均得分 80；第二组 80 人，平均得分 90，总平均分应由各组总分相加，再除以总人数。
总平均 =（20 × 80 + 80 × 90）÷ 100 = 88
直接算（80 + 90）÷ 2 = 85，相当于把两组赋予同样权重，忽略了人数差异。读图表、比较服务满意度或合并不同渠道数据时，都应先确认各组的样本量与统计口径。
做一做：如果两组都是 20 人，平均分分别为 80 和 90，合并平均分是多少？
（20 × 80 + 20 × 90）÷ 40 = 85。两组样本量相同，权重相等，这时对两个平均数直接求平均才得到正确结果。
写清对象与条件，列出可以选择的行动，检查分母、权重和假设，再给出结论。遇到新信息时，回到模型检查哪些地方需要修改。
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